动态&课题介绍
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Gemini 3.0 今天发布了, 但是效果貌似没有预期的那么厉害…? 推理感觉都不如 o3, 尤其是 Canvas 功能, 感觉好不稳定…
新课题的现象有点复杂, 控制参数有点多, 要是画出来相空间 attract basin 应该会是什么分形??? 无所谓了, 感觉这样的课题我只能研究出来一部分.
背景提供: 固体行星形成与稳定演化过程中的黄赤交角稳态. 众所周知, 黄赤交角会通过影响四季更替/五带划分来影响行星的宜居性, 而 super earth 便是宜居行星的重要候选者, 它在形成初期会获得基本任意的地轴指向, 此后的地轴演化规律的物理模型叫做 Colombo 陀螺, 为了获得稳态解, 我们需要在这个基础上加入一个浸渐影响地轴演化的潮汐耗散, 效果是让自旋逐渐靠向轨道平面法向.
直观看来: 轨道角动量由于外部伴星扰动, 会自东向西进动; 与此同时, 行星的自转轴由于与恒星的潮汐耦合, 会导致地轴绕着轨道角动量自西向东进动 (经典物理竞赛题了). 如果只有一个伴星, 就是一个恒定的类 Larmor 进动, 潮汐耗散的平衡态 (称为卡西尼/Cassini 态) 有两个稳定指向, 一个黄赤交角基本为0, 另一个会具有很大的黄赤交角, 从而激发很大的自转倾角.
问题来了, 如果有两个伴星, 轨道角动量就会有两个进动谐频成分, 最终态的行为会非常诡异. 在轨道角动量参考系中, 自转轴可能不再是固定朝向, 而是会趋向于一系列很显著且稳定的极限环; 更诡异的是, 对于特定的伴星频率组合, 最终的自转轴演化行为可能不只是极限环, 而是出现了φ角随时间线性变化的成分, 这些都是很诡异的响应…
(话说现在没有一个很好的图片, 而且网页的 Markdown 插入行内公式怎么这么奇怪)
在大多数参数空间的取值中, 这个问题非常的混沌且非保守……还是研究一些极限的参数取值吧.
模型的数学描述: 预先有复数参数作为轨道角动量的参数驱动项:
\[\mathcal{I}\equiv I\exp{(i\Omega)}=I_{1}\exp{(ig_{1}t)}+I_{2}\exp{(ig_{2}t)},\]其中 \(t\) 表示时间, \(I_{1,2}\) 均为小量, 精确到二阶. 由此便可以确定参数变化率的普遍形式:
\[\dot I=\mathrm{Re}(e^{-i\Omega}\dot{\mathcal{I}}),\quad I\dot\Omega=\mathrm{Im}(e^{-i\Omega}\dot{\mathcal{I}}).\]我们考察的动力学方程为:
\[\boxed{\begin{aligned} & \frac{d\theta}{dt}=-\dot I \cos\phi-I\dot\Omega \sin\phi-\frac{1}{t_{al}}\sin\theta\\ & \frac{d\phi}{dt}=-\alpha\cos\theta-\dot\Omega\cos I+(\dot I\sin\phi-I\dot\Omega\cos\phi)\cot\theta, \end{aligned}}\]其中 \(t_{al}\gg 1/α\).
给定任意初始的姿态角, 系统会混沌的演化, 并在耗散效应下趋于稳定态, 我们便需要从解析和数值的角度理解这种混沌演化的行为.
已经导出另一种等效的形式, 在 “轨道刚体” 的主轴系中, “正则” 变量 (p,q)=(cos θ, φ) 满足运动方程:
\[\boxed{\begin{aligned} \dot p&=\sqrt{ 1-p^2 }(\dot I\cos\phi+I\dot\Omega\sin\phi)+\frac{1}{t_{al}}(1-p^2)\\ \dot \phi&=-\alpha p -\dot\Omega\sqrt{ 1-I^2 }+(\dot I\sin\phi-I\dot\Omega\cos\phi) \frac{p}{\sqrt{ 1-p^2 }}, \end{aligned}}\]其中 \(\dot I=\mathrm{Re}(e^{-i\Omega}\dot{\mathcal{I}}), I\dot\Omega=\mathrm{Im}(e^{-i\Omega}\dot{\mathcal{I}}).\)